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世界杯与数学圣地
2018年07月09日 15:05 来源:文汇报 作者:蔡天新 字号

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  世界杯正如火如荼地首次在广袤的俄罗斯大地举行,六十四场比赛在十一座城市的十二个体育场依次进行。这十一座举办城市大都在欧洲,其中首都莫斯科拥有两座比赛场地,包括可以容纳八万多人的卢日尼基体育场。卢日尼基在俄语里的本意是草坪,该体育场坐落在莫斯科河的拐弯处。历史上它曾叫作列宁体育场,既是1980年莫斯科夏季奥运会的主场地,也是2008年欧洲冠军杯决赛的比赛地,本届世界杯的揭幕战和决赛均在此举行。

  除了莫斯科和圣彼得堡,其他九座城市的知名度似乎不是很高。可当我仔细辨认,惊讶地发现,这些举办城市多数与数学有缘。让我们先来看俄罗斯城市的双子星座——莫斯科和圣彼得堡,它们分别诞生了两个举世闻名的数学学派——莫斯科学派和彼得堡学派,合起来仅菲尔兹奖得主就有十位。

  早在1725年,彼得大帝和他的皇后叶卡捷琳娜一世便创办了彼得堡科学院,邀请了著名数学世家贝努利家族的两位成员,还有18世纪最伟大的数学家莱昂拉多·欧拉,他在20岁那年踏上俄罗斯的土地,在那里度过了一生的大部分时光,直至去世。两年前,我造访圣彼得堡时,曾专程去他的墓地拜谒。可是,我却无缘见到那位因证明庞加莱猜想的传奇数学家佩雷尔曼。

  除了圣彼得堡和莫斯科,至少还有三座世界杯举办城市也堪称数学圣地,它们分别是加里宁格勒、下诺夫哥罗德和喀山,每座城市都至少举办四场小组赛。加里宁格勒是俄罗斯最西部的城市,也是俄罗斯的一块飞地,周围是波兰、立陶宛和波罗的海。加里宁格勒原名哥尼斯堡,本来属于普鲁士。 “二战”结束以后,按照  “波茨坦协定”,它被划归苏联,如今俄罗斯波罗的海舰队司令部设在那里。

  哥尼斯堡是大哲学家康德的出生地,也是大数学家希尔伯特的故乡,后者建立了赫赫有名的哥廷根数学学派,并在1900年巴黎国际数学家大会上提出23个数学问题,为20世纪的数学发展指明了方向。哥尼斯堡也是数学家哥德巴赫的出生地,他提出的以他名字命名的猜想闻名遐迩,这个猜想迄今最好的工作是由中国数学家陈景润完成的。

  同样值得一提的是,流经哥尼斯堡的普莱格尔河上有七座桥,其中五座把河中央的岛屿与河岸相连,于是产生了一个广为人知的数学问题——“假设一个人只能通过每座桥一次,能否把七座桥走遍?”这个问题被称为“哥尼斯堡七桥问题”,它是数学分支拓扑学的出发点。

  下诺夫哥罗德位于莫斯科以东四百多公里处,是同名州的州府。1868年初春,这座城市的一个木匠家庭里诞生了未来独步苏联文坛的作家高尔基。而在那之前,距离希尔伯特出生还有七十年,这座城市诞生了一位数学天才罗巴切夫斯基,他可是俄国历史上最伟大的数学家。

  在罗巴切夫斯基十岁那年,他的父亲便已经去世,母亲把他和他的两个兄弟送到三百多公里以外 (与莫斯科方向相反)的喀山。喀山是鞑靼共和国的首府,鞑靼是俄罗斯联邦第一大少数民族。罗巴切夫斯基在中学里遇见好老师,十四岁那年,天资聪颖的他便考入了喀山大学。

  在喀山大学,罗巴切夫斯基在掌握了多门外语以后阅读了大量数学原著,并充分展现了自己的才华。硕士毕业以后他留校工作,依靠卓越的研究工作和管理能力,顺利得到升迁,直至做了教授、系主任乃至一校之长,列夫·托尔斯泰进入喀山大学东方语言系 (后来还有列宁进入法律系)时他正好担任校长。

  大约在1823年,罗巴切夫斯基发明了以他自己名字命名的几何学,这是与欧几里得几何学截然不同的几何学。例如,在欧氏几何里,三角形内角和等于180度;而在罗氏几何里,三角形内角和小于180度。又如,在欧氏几何里,过已知直线外任意一点,可以作唯一一条直线与已知直线平行;而在罗氏几何里,这样的平行线不止一条。

  1826年,罗巴切夫斯基在自己担任系主任的系学术报告会上讲述了他的发明,却被他的同事们认为荒诞不经,没有引起任何注意。同样,他在莫斯科的俄罗斯科学院报告也没被接纳。又过了三年,已是一校之长的罗巴切夫斯基在俄文版的 《喀山大学学报》上正式发表他的结果,他的研究成果随后才缓慢传递到西欧。

  最后,我们来谈谈举办世界杯的城市里最东边的叶卡捷琳堡,它位于欧亚大陆的分界线乌拉尔山东麓,以女皇叶卡捷琳娜一世命名。1883年,在乌拉尔山以东,离开叶卡捷琳堡两百多公里远的一座亚洲小镇里,一位毕业于喀山大学神学院的东正教神父普沃茨米利用闲暇时光找到了第九个完美数 (共37位),为这个历史悠久的数学难题添加了一笔神奇的色彩。

  所谓完美数是指这样的正整数,它等于自身的真因子之和。古希腊的毕达哥拉斯学派便已知晓,最小的完美数是 6,因为 6=1+2+3。第二小的完美数是 28,因为 28=1+2+4+7+14。经过两千多年的努力,到1772年,欧拉在彼得堡找到了第八个完美数,共19位。那以后的一个多世纪里,全世界都没有人找到一个新的完美数。

  而在普沃茨米之后,相隔四年发现第十个完美数和第十一个完美数的是美国科罗拉多州一位名叫鲍威尔的铁路职工,不过那已经是20世纪20年代的事情了。因此我们可以这样说,用人工的方法找到一个新的完美数比赢得一次足球世界杯还要困难 (在计算机时代,一共找到了50个,最新的一个发现是今年年初)。

     蔡天新

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